BILANGAN
REAL
1. Berbagai Sistem Bilangan
Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan
operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang telah kita kenal antara lain
aljabar dan logaritma. Sedangkan sebagian himpunan dalam aljabar adalah
himpunan-himpunan bilangan.
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya ?
Untuk menjawabnya, kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana
berikut ini.
· Bilangan-bilangan
bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah
bilangan-bilangan asli
(= Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku
kita, teman-teman kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan
negatifnya dan nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat (= dari bahasa
Jerman, Zahlen):
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau
tegangan listrik, bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini
terlalu kurang untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran.
Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari
bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk ,
dimana m dan n adalah bilangan bulat dan , disebut bilangan-bilangan rasional
(= Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua
panjang? Fakta yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani
kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa
meskipun merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku
dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi
dua bilangan bulat. Jadi adalah suatu bilangan tak rasional
(irasional).
Demikian juga Jika kita belum terbiasa untuk bisa
membedakan bilangan rasional dan bilangan irasional secara langsung, maka ada
satu ciri khusus yang yang bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
2. Bilangan-bilangan
real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang
dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan
bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah bilangan
yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.
Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol)
sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Setiap titik
pada garis bilangan mempunyai lambang yang tunggal, disebut koordinat titik, dan
garis bilangan yang dihasilkan diacu sebagai garis real.
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan
bilangan yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan
masing-masing himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan
rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam
diagram venn?
3. Operasi
pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian.
a) Operasi
penjumlahan
Contoh:
1. 4 +
6 = 10
2. 4 + (-6
) = -2
b) Operasi
pengurangan
Contoh:
1. -6 – 4 =
-6 + (-4) = -10
2. 3 -6 – 4
= -6 + (-4) = -10
c) Operasi
perkalian
Contoh:
1. 6 x 4 =
24
2. 6 x (-4)
= -24
3. (-6) x (-4)
= 24
d) Operasi
pembagian
Contoh:
1. 12 : 2 =
6
2. 12 : -2 =
-6
3. (-12) :
(-2) = 6
4. Pengubahan
pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan sebaliknya
a) Mengubah
Pecahan Biasa ke Desimal
Contoh:
= 1,5
b) Mengubah
Pecahan Desimal ke Persen
Contoh:
= x = = 8
c) Mengubah
persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
25
: =
5. Menghitung
persentase
a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada
tingkat penjualan yang dilakukan
Contoh:
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 %
jika ia mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya komisi
yang diterima?
Jawab:
Komisi = 15 % x Rp. 2.000.000
Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu
sebesar. Rp. 300.000,00
b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan
diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00,
berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00
Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
c) Laba
dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga
atau biaya pembelian. Rumusnya sebagai berikut
LABA = PENJUALAN – PEMBELIAN. Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari
harga atau biaya pembelian. Rumusannya sebagai berikut
RUGI = PEMBELIAN - PENJUALAN
Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00,
dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari
harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp.
400.000,00
d) Persentase
keuntungan (laba) dari harga beli
Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:
P%= Rp.400.000 x 100%=16.7%
Rp.2400.000
6. Macam-macam Bilangan Real
1. Bilangan
Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula
dipakai untuk
membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…
A = {1,2,3,4,…}
2. Bilangan
Genap (G)
Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA
G = {2,4,6,8,…}
3. Bilangan
Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA
Gj = {1,3,5,7,…}
4. Bilangan
Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari
2 dan
hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1
P = {2,3,5,7,…}
5. Bilangan
Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat
dibagi oleh bilangan yang lain
Km = {4,6,8,9,…}
6.
Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari
nol
C = {0,1,2,3,4,…}
7.
Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif,
bilangan nol, dan bilangan bulat positif.
B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
8. Bilangan
Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat
dinyatakan
dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai
penyebut,
dengan a dan b ÎB serta b ≠0
9. Bilangan
Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat
dinyatakan
dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan
bilangan bulat
dengan himpunan bilangan pecahan)
10. Bilangan
Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak
dapat
dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0.
Contoh: π = 3,14159…, e = 2,71828….
11. Bilangan
Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari
bilangan
rasional dan bilangan irasional. Bilangan real
biasanya disajikan
dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
-1 -2 -3 0 1 2 3 4
12. Bilangan
Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa
dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak
ada.
13. Bilangan
Kompleks (K)
Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri
dari bilangan
dan khayal.
7. Sifat-sifat Operasi
Bilangan Bulat
a. Sifat
Komutatif:
a + b = b + a
a.b = b.a
Contoh:
1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11
2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27
b. Sifat
Assosiatif:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Contoh:
1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10
2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
c. Sifat
Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45
d. Terdapat
Dua Elemen Identitas
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas,
yaitu 1 dan 0,sehingga memenuhi:
a + 0 = a
a . 1 = a
e. Terdapat
Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers
penjumlahan, yaitu –a yang memenuhi:
a + (-a) = 0
Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.
